Pembahasan Soal Ujian Nasional SMA IPA 2010 Bagian 6

Berikut ini adalah lanjutan Pembahasan Soal-Soal Ujian Nasional SMA IPA Tahun 2010 bagian 5

Yuk kita kembali membahas soal ujian nasional matematika tahun 2010 dijamin pasti menarik,neh….

  1. Himpunan penyelesaian persamaan $cos\;2x-sin\;x=0$ untuk $0\leq x\leq 2\pi $ adalah….

    A. ${ \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6} }$

    B. ${ \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2} }$

    C. ${ \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6} }$

    D. ${ \frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6} }$

    E. ${ \frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6},2\pi }$

    jawab :

    • ingat persamaan trigonometri ${\color{red} cos\;2x=1-2\;sin^{2}\;x}$ akan didapat :

      \begin{align*}cos\;2x-sin\;x & = & 0\\(1-2\;sin^{2}\;x)-sin\;x & = & 0\\ -2\;sin^{2}\;x-sin\;x+1 & = & 0\\2\;sin^{2}\;x+sin\;x-1 & = & 0\end{align*}

    • perhatikan persamaan trigonometri tersebut, jika kalian telah mahir memfaktorkan maka kalian dapat langsung memfaktorkannya namun jika masih harus menggunakan permisalan, maka :

    misal $sin\;x=a$ subtitusikan ke persamaan

    \begin{array}{ccc}2\;sin^{2}\;x+sin\;x-1 & = & 0\\2a^{2}+a-1 & = & 0\\(2a-1)(a+1) & = & 0\\2a-1=0 & \vee & a+1=0\\a=\frac{1}{2} & \vee & a=-1 \end{array}

    ingat untuk mensubtitusikan kembali $sin\;x=a$

    \begin{align*}a=\frac{1}{2} & \vee & a=-1\\sin\;x=\frac{1}{2} & \vee & sin\;x=-1\\x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6} & \vee & x=\frac{3\pi}{2} \end{align*}

    sehingga HP : \left \{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2} \right \}

  2. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang rusuk-rusuk alas AB = 5 cm, BC = 7 cm, dan AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm, maka volume prisma tersebut adalah…

    A. 100 cm2

    B. $100\sqrt3$ cm2

    C. 175 cm2

    D. 200 cm2

    E. $200\sqrt{15}$ cm2

    Jawab :

    Ingat volume prisma adalah $\Large V = L_{alas}.\;t$

    Alas prisma berupa segitiga sembarang ABC dengan a = 7 , b = 8 , c = 5 kita cari luas ${\color{red} L_{\bigtriangleup ABC}=\sqrt{s.(s-a).(s-b).(s-c)}}$ dimana $s=\frac{a+b+c}{2}$

    maka : \begin{align*}s & = & \frac{a+b+c}{2}\\ & = & \frac{7+8+5}{2}\\ & = & 10 \end{align*}

    sehingga volume prisma adalah

    \begin{align*}V_{prisma} & = & L_{\bigtriangleup ABC}\;.\;t\\ & = & 10\sqrt{3}.\;10\\ & = & 100\sqrt{3}\;\;cm^{3}\end{align*}

  3. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi $s(t)=\frac{1}{4}t^{4}-\frac{3}{2}t^{3}-6t^{2}+5t$ . Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada t = ….

    A. 6 detik

    B. 4 detik

    C. 3 detik

    D. 2 detik

    E. 1 detik

    Jawab :

    $s(t)=\frac{1}{4}t^{4}-\frac{3}{2}t^{3}-6t^{2}+5t$

    Kecepatan adalah turunan pertama dari jarak sehingga

    \begin{align*}V(t) & = & {s}'(t)\\ & = & t^{3}-\frac{9}{2}t^{2}-12t+5\end{align*}

    Agar kecepatan maksimum, maka ${V}'(t)=0$ didapat :

    kita ambil $t = 4$ detik

  4. Garis singgung kurva $y=(x^{2}+2)^{2}$ yang melalui titik $( 1, 9) $memotong sumbu Y di titik ….

    A. ( 0, 8 )

    B. ( 0 , 4 )

    C. ( 0 , -3 )

    D. ( 0 , -12 )

    E. ( 0, -21 )

    Jawab :

    • Persamaan Garis singgung yang melalui satu titik $(x_1\;,\;y_1)$ adalah $y-y_1=m(x-x_1)$ sehingga kita harus menentukan gradien garis $( m )$ terlebih dahulu.

    • Ingat gradien $m={y}'$ dengan $y=(x^{2}+2)^{2}$ (untuk menurunkan $y$ , gunakan aturan rantai) dan melalui titik $( 1, 9 )$

    PGS dengan $m = 12$ dan melalui titik $( 1 , 9 )$ adalah

    \begin{array}{rcl}m & = & {y}\;'\\ & = & 2.(x^{2}+2).2x\\m & = & 4x(x^{2}+2)\;\;\;\;di\;titik\;(1,9)\\m & = & 4(1)(1^{2}+2)\\m & = & 12 \end{array}

    ditanyakan garis singgung tersebut memotong sumbu $Y$, maka $x=0$

    \begin{array}{rcl}y & = & 12x-3\;\;\;\;(untuk\;x=0)\\y & = & -3 \end{array}

    Titik potong PGS terhadap sumbu $Y$ adalah $(0,-3)$

  5. Nilai $\lim\limits_{x \to 0}\left ( \frac{sin\;x+sin\;5x}{6x} \right ) =$ ….

    A. 2

    B. 1

    C. $\frac{1}{2}$

    D. $\frac{1}{3}$

    E. – 1

    Jawab :

    Model soal limit seperti ini tinggal kita jabarkan tiap sukunya sehingga dapat kita gunakan rumus $\Large {\color{red} \lim\limits_{x \to 0}\frac{sin\;{\color{DarkBlue} a}x}{{\color{DarkBlue} b}x}=\frac{{\color{DarkBlue} a}}{{\color{DarkBlue} b}}}$

aaahh…tunggu lagi kelanjutannya yah…

Comments