Pembahasan Soal Ujian Nasional SMA IPA 2010 Bagian 7

Berikut ini adalah lanjutan Pembahasan Soal-Soal Ujian Nasional SMA IPA Tahun 2010 bagian 6

Buatlah rangkuman rumus-rumus dari tiap materi, begitu berlatih dengan soal-soal, pergunakan untuk mengingat dan mengerjakan dengan baik,ok……

  1. Nilai \lim_{x\to2}\left ( \frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^{2}-4} \right ) = adalah

    A. $\frac{1}{4} $

    B. $\frac{1}{2}$

    C. 2

    D. 4

    E. $\infty$

    Jawab :

    ingat ${\color{red} a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

    \begin{align*}\lim_{x\to2}\left ( \frac{2}{x-2}-\frac{8}{\color{red} {x^{2}-4}} \right ) & = & \lim_{x\to2}\;\frac{2}{x-2}-\frac{8}{(x-2)(x+2)}\\ & = & \lim_{x\to2}\;\frac{2(x+2)-8}{(x-2)(x+2)}\\ & = & \lim_{x\to2}\;\frac{2x+4-8}{(x-2)(x+2)}\\ & = & \lim_{x\to2}\;\frac{2x-4}{(x-2)(x+2)}\\ & = & \lim_{x\to2}\;\frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)}\\ & = & \lim_{x\to2}\;\frac{2}{(x+2)}\\ & = & \frac{2}{2+2}\\ & = & \frac{1}{2}\end{align*}

  2. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}$ dan $y=\sqrt{x}$ diputar $3600$ mengelilingi sumbu $X$ adalah ….

    A. $\frac{3}{10}\pi$ satuan volume

    B. $\frac{5}{10}\pi$ satuan volume

    C. $\frac{1}{3}\pi$ satuan volume

    D. $\frac{10}{3}\pi$ satuan volume

    E. $2\pi$ satuan volume

    Jawab :

    kita cari batas-batasnya dulu

    \begin{array}{rcl}y_1 & = & y_2\\x^{2} & = & \sqrt{x}\\x^{4} & = & x\\x^{4}-x & = & 0\\x(x^{3}-1) & = & 0\\x=0 & \vee & x^{3}-1=0\\ & \vee & x=1\end{array}

    Volume antara dua kurva :

    \begin{align*}V & = & \pi\int_{0}^{1}(\sqrt{x})^{2}-(x^{2})^{2}dx\\ & = & \pi\int_{0}^{1}x-x^{4}\;dx\\ & = & \pi\left [ \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{5}x^{5} \right ]_{0}^{1}\\ & = & \left [ \frac{1}{2}-\frac{1}{5} \right ]\pi\\ & = & \left [ \frac{5-2}{10}\right ]\pi\\ & = & \frac{3}{10}\pi\;\;\;\;SatVol \end{align*}

  3. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva$ y=x^{3},\;y=x\;,\;x=0$ dan garis $x=2$ adalah ….

    A. $2\frac{1}{4}$ satuan luas

    B. $2\frac{1}{2}$ satuan luas

    C. $\frac{1}{4}$ satuan luas

    D. $3\frac{1}{2}$ satuan luas

    E. $4\frac{1}{4}$ satuan luas

    Jawab :

    • Perhatikan gambar kurva :
    • batas kurva $y=x^3$ dan $y=x$

      \begin{array}{rcl}y_1 & = & y_2\\x^3 & = & x\\x^3-x & = & 0\\x(x^2-1) & = & 0\\x(x-1)(x+1) & = & 0\\x={\color{Red} 0} & x={\color{Red} 1} & x={\color{Red} -1}\end{array}

    • batas Luas yang diminta adalah $x = 0$ sampai $x = 2$ sehingga terdapat dua daerah yang terjadi

    • daerah I untuk $ x=0 $ sampai $x = 1$ Luasnya:

      \begin{align*}Luas_{1} & = & \int_{0}^{1}x-x^3\;dx\\ & = &\left [\frac 12x^2-\frac 14x^4 \right ]_{0}^{1}\\ & = & \left (\frac 12 - \frac 14 \right)-\left ( 0 \right )\\ & = & \frac 14\;\;satLuas\end{align*}

    • daerah 2 untuk $x = 1$ sampai $x=2$ Luasnya :

      \begin{align*}Luas_{2} & = & \int_{1}^{2}x^3-x\;dx\\ & = &\left [\frac 14x^4-\frac 12x^2 \right ]_{1}^{2}\\ & = & \left (\frac 14.16 - \frac 12.4 \right)-\left ( \frac 14-\frac 12 \right )\\ & = & \frac 94\;\;satLuas\end{align*}

      \begin{align*}Luas\;Total & = & Luas_I + Luas_{II}\\ & = & \frac 14+\frac 94\\ & = & \frac{10}{4}\\ & = & 2\frac 12\;\;satLuas\end{align*}

  4. Hasil dari $\int_{0}^{2}\;3\left ( x+1 \right )\left ( x-6 \right ) dx = $….

    A. $– 58$

    B. $– 56$

    C. $– 28$

    D. $– 16$

    E. $– 14$

    Jawab :

    \begin{align*}\int_{0}^{2}3(x+1)(x-6)dx & = & \int_{0}^{2}3(x^{2}-5x-6)dx\\ & = & \int_{0}^{2}3x^{2}-15x-18\;dx\\ & = & \left [ x^{3}-\frac{15}{2}x^{2}-18x \right ]_{0}^{2}\\ & = & \left ( 8-30-36 \right )-(0)\\ & = & -58 \end{align*}

  5. Nilai dari $\Large \int_{\frac{1}{2}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}cos\;\left ( 3x-\pi \right ) = $….

    A. $– 1$

    B. $-\frac{1}{3}$

    C. $0$

    D. $\frac{1}{3}$

    E. $1$

    Jawab :

    model soal yang begini berarti pakai subtitusi neh..kita misalkan

    \begin{align*}Luas\;Total & = & Luas_I + Luas_{II}\\ & = & \frac 14+\frac 94\\ & = & \frac{10}{4}\\ & = & 2\frac 12\;\;satLuas\end{align*}

    maka :

    \begin{align*}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2\pi}{3}}cos(3x-\pi)dx & = & \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2\pi}{3}}cos\;u\;\frac{du}{3}\\ & = & \left [ \frac{1}{3}\;sin\;u \right ]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2\pi}{3}}\\ & = & \left [ \frac{1}{3}\;sin\;(3x-\pi) \right ]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2\pi}{3}}\\ & = & \left ( \frac{1}{3}\;sin(3.\frac{2\pi}{3}-\pi) \right )-\left ( \frac{1}{3}\;sin\;(3.\frac{\pi}{2}-\pi) \right )\\ & = & \frac{1}{3}sin\;\pi-\frac{1}{3}sin\;\frac{\pi}{2}\\ & = & 0-\frac{1}{3}\\ & = & -\frac{1}{3}\end{align*}

Comments