Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri?

mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian….

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya….

dimana $f' (x) = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\:\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ maka

Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :

$f(x) = sin\:x $ maka $f'(x)= cos\:x$

$f(x) = cos\:x $ maka $ f'(x)= - sin\:x$

$f(x) = a.sin\:(bx+c)$ maka $f'(x)= ab.cos\:(bx+c)$

$f(x) = a.cos\:(bx+c)$ maka $f'(x)= -ab.sin\:(bx+c)$

contoh:

  1. $\:f(x)= 3cos\:x$ maka $f'(x)=-3sin\:x$

  2. $\:f(x)=2sin\:5x$ maka $f'(x)=10cos\:5x$

  3. $\:f(x)=4.cos(3x+\pi)$

\begin{array}{rcl}f'(x) & = & {-4}.3.sin(3x+\pi)\\ & = & {-12}.sin(3x+\pi)\end{array}

Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this….

  1. $\:f(x)=sec\:x$ tentukan $f ‘(x)$ !

    Jawab :

    \begin{array}{rcl}f(x) & = & sec\:x\\ & = & \frac{1}{cos\:x}\end{array}

    \begin{array}{lcl}u=1 & maka & u'=0\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}

    \begin{align*}f'(x) & = & \frac{u'.v-v'.u}{v^2}\\ & = & \frac{0.cos\:x-(-sin\:x).1}{(cos\:x)^2}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos^2\:x}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos\:x}.\frac{1}{cos\:x}\\ & = & tan\:x.sec\:x\end{align*}

  2. $\:f(x)=(x^2+2).sin\:x$ tentukan $f ‘(x)$ !

    Jawab :

    \begin{array}{lcl}u=x^2+2& maka & u'=2x\\v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}

    \begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 2x.sin\:x+cos\:x.(x^2+2)\\ & = & 2x\:sin\:x+x^2.cos\:x+2\:cos\:x\end{array}

Turunan ke-n

Diberikan fungsi $f(x)$, maka :

turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f' (x)$ ;

turunan kedua dari $f(x)$ adalah $f'' (x)$ ;

turunan ketiga dari $f(x)$ adalah $f''' (x)$ dst.

  1. $\:f(x)=4x^2.cos\:x$ tentukan turunan kedua dari $f(x)$!

    Jawab :

    • kita cari turunan pertama dulu ya..

      \begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}

      \begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.cos\:x+(-sin\:x).4x^2\\ & = & 8x.cos\:x-4x^2.sin\:x\end{array}

    • perhatikan untuk $f'(x)=8x.cos\:x-4x^2.sin\:x$ mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku $f ‘(x)$ adalah a dan b dimana $f ‘(x) = a – b$ untuk mencari turunan kedua akan berlaku $f ”(x) = a’ – b’$ mari kita cari turunan masing-masing suku…

    • ambil suku pertama dari $f ‘(x)$ kita misalkan $a=8x.cos\:x$

      \begin{array}{lcl}u=8x & maka & u'=8\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}

      \begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8.cos\:x+(-sin\:x).8x\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x\end{array}

    • ambil suku kedua dari $f ‘(x)$ kita misalkan $b=4x^2.sin\:x$

      \begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}

      \begin{array}{rcl}b' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.sin\:x+(cos\:x).4x^2\\ & = & 8x.sin\:x+4x^2.cos\:x\end{array}

    • nah, kembali ke $f''(x)=a'-b'$

      \begin{array}{rcl}f ''(x) & = & a'-b'\\ & = & (8.cos\:x-8x.sin\:x)-(8x.sin\:x+4x^2.cos\:x)\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x-8x.sin\:x-4x^2.cos\:x\\ & = & 8.cos\:x-16sin\:x-4x^2.cos\:x\end{array}

    selesai,deh…..coba yang lain yuk!

  2. $\:f(x)=x.cos\:x+sin\:x$ tentukan turunan ke-empat dari $f(x)$ !

    Jawab :

    • $f(x)=x.cos\:x+sin\:x$ mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga $f ‘(x) = a ‘ + b ‘$ cari turunan masing-masing suku dulu ya…

      $a=x.cos\:x$

      \begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}

      \begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.cos\:x+(-sin\:x).x\\ & = & cos\:x-x.sin\:x\end{array}

      $b=sin\:x$ maka $b'=cos\:x$

      \begin{array}{rcl}f'(x) & = & a'+b'\\ & = & (cos\:x-x.sin\:x)+(cos\:x)\\ & = & 2.cos\:x-x.sin\:x\end{array}

    • $f'(x)=2.cos\:x-x.sin\:x$ mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga $f ”(x) = c ‘ – d ‘$

      $c=2.cos\:x$ maka $c'=-2.sin\:x$

      $d=x.sin\:x$

      \begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}

      \begin{array}{rcl}d' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.sin\:x+cos\:x.x\\ & = & sin\:x+x.cos\:x\end{array}

      \begin{array}{rcl}f''(x)& = & c'-d'\\ & = & (-2.sin\:x)-(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {-2}.sin\:x-sin\:x-x.cos\:x\\ & = & {-3}.sin\:x-x.cos\:x\end{array}

    • $f''(x)=-3.sin\:x-x.cos\:x$ mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas $a=x.cos\:x$ maka $a'=cos\:x-x.sin\:x$

      sehingga :

      \begin{array}{rcl}f'''(x) & = & {-3}.cos\:x-(cos\:x-x.sin\:x)\\ & = & {-3}.cos\:x-cos\:x+x.sin\:x\\ & = & {-4}.cos\:x+x.sin\:x\end{array}

    • $f'''(x)={-4}.cos\:x+x.sin\:x$ mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas $d=x.sin\:x$ maka $d'=sin\:x+x.cos\:x$

      sehingga :

      \begin{array}{rcl}f''''(x) & = & {-4}.(-sin\:x)+(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {4}.sin\:x+sin\:x+x.cos\:x\\ & = & {5}.sin\:x+x.cos\:x\end{array}

    waaaaah…..selesai !!!!

    begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!!

    ada yang bertanya soal seperti ini:

  3. Jika diketahui $y=sin\:x$ buktikan bahwa turunan ke-n yaitu $y^n=sin(x+\frac{\pi}{2}.n)$ !

    Jawab :

    ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran

    $y=sin\:x$

       
    $y'=cos\:x$$=\:sin(\frac{\pi}{2}+x)$$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.1)$
    $y''=-sin\:x$$=\:sin({\pi}+x)$$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.2)$
    $y'''=-cos\:x$$=\:sin(\frac{3.\pi}{2}+x)$$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.3)$
    $y''''=sin\:x $$=\:sin({2.\pi}+x)$$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.4)$
    .........
    .........
    dstdstdst

    sehingga $\large y^n=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.n)$ terbukti

Untuk contoh latihan soal dan pembahasannya di soal turunan trigonometri yah….

Pembaca yang bijak selalu meninggalkan jejak,hehehe….

Comments