Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri?

mari kita pahami rumusnya serta  berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian….

 

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya….

dimana f' (x) = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\:\frac{f(x + h) - f(x)}{h} maka

Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :

 

f(x) = sin\:x maka f'(x)= cos\:x

f(x) = cos\:x maka f'(x)= - sin\:x

f(x) = a.sin\:(bx+c) maka f'(x)= ab.cos\:(bx+c)

f(x) = a.cos\:(bx+c) maka f'(x)= -ab.sin\:(bx+c)

contoh:

1.\:f(x)= 3cos\:x maka f'(x)=-3sin\:x

 

2.\:f(x)=2sin\:5x maka f'(x)=10cos\:5x

 

3.\:f(x)=4.cos(3x+\pi)

 

\begin{array}{rcl}f'(x) & = & {-4}.3.sin(3x+\pi)\\ & = & {-12}.sin(3x+\pi)\end{array}

 

 

Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this….

 

1.\:f(x)=sec\:x tentukan f ‘(x) !

jawab

\begin{array}{rcl}f(x) & = & sec\:x\\ & = & \frac{1}{cos\:x}\end{array}

\begin{array}{lcl}u=1 & maka & u'=0\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}

\begin{align*}f'(x) & = & \frac{u'.v-v'.u}{v^2}\\ & = & \frac{0.cos\:x-(-sin\:x).1}{(cos\:x)^2}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos^2\:x}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos\:x}.\frac{1}{cos\:x}\\ & = & tan\:x.sec\:x\end{align*}

2.\:f(x)=(x^2+2).sin\:x tentukan f ‘(x)!

jawab:

\begin{array}{lcl}u=x^2+2& maka & u'=2x\\v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}

\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 2x.sin\:x+cos\:x.(x^2+2)\\ & = & 2x\:sin\:x+x^2.cos\:x+2\:cos\:x\end{array}

Turunan ke-n

diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ‘(x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f ”(x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f ”’(x) dst.

1.\:f(x)=4x^2.cos\:x tentukan turunan kedua dari f(x)!

jawab.

*kita cari turunan pertama  dulu ya..

\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}

\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.cos\:x+(-sin\:x).4x^2\\ & = & 8x.cos\:x-4x^2.sin\:x\end{array}

*perhatikan untuk f'(x)=8x.cos\:x-4x^2.sin\:x mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f ‘(x) adalah a  dan b dimana f ‘(x) = a – b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f ”(x) = a’ – b’ mari kita cari turunan masing-masing suku…

*ambil suku pertama dari f ‘(x) kita misalkan a=8x.cos\:x

\begin{array}{lcl}u=8x & maka & u'=8\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}

\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8.cos\:x+(-sin\:x).8x\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x\end{array}

*ambil suku kedua dari f ‘(x) kita misalkan b=4x^2.sin\:x

\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}

\begin{array}{rcl}b' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.sin\:x+(cos\:x).4x^2\\ & = & 8x.sin\:x+4x^2.cos\:x\end{array}

*nah, kembali ke f''(x)=a'-b'

\begin{array}{rcl}f ''(x) & = & a'-b'\\ & = & (8.cos\:x-8x.sin\:x)-(8x.sin\:x+4x^2.cos\:x)\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x-8x.sin\:x-4x^2.cos\:x\\ & = & 8.cos\:x-16sin\:x-4x^2.cos\:x\end{array}

selesai,deh…..coba yang lain yuk!

2.\:f(x)=x.cos\:x+sin\:x tentukan turunan ke-empat dari f(x) !

jawab:

 

*f(x)=x.cos\:x+sin\:x mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f ‘(x) = a ‘ + b ‘ cari turunan masing-masing suku dulu ya…

a=x.cos\:x

\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}

\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.cos\:x+(-sin\:x).x\\ & = & cos\:x-x.sin\:x\end{array}

b=sin\:x maka b'=cos\:x

\begin{array}{rcl}f'(x) & = & a'+b'\\ & = & (cos\:x-x.sin\:x)+(cos\:x)\\ & = & 2.cos\:x-x.sin\:x\end{array}

*f'(x)=2.cos\:x-x.sin\:x mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f ”(x) = c ‘ – d ‘

c=2.cos\:x maka c'=-2.sin\:x

d=x.sin\:x

\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}

\begin{array}{rcl}d' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.sin\:x+cos\:x.x\\ & = & sin\:x+x.cos\:x\end{array}

\begin{array}{rcl}f''(x)& = & c'-d'\\ & = & (-2.sin\:x)-(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {-2}.sin\:x-sin\:x-x.cos\:x\\ & = & {-3}.sin\:x-x.cos\:x\end{array}

*f''(x)=-3.sin\:x-x.cos\:x mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas a=x.cos\:x maka a'=cos\:x-x.sin\:x

sehingga

\begin{array}{rcl}f'''(x) & = & {-3}.cos\:x-(cos\:x-x.sin\:x)\\ & = & {-3}.cos\:x-cos\:x+x.sin\:x\\ & = & {-4}.cos\:x+x.sin\:x\end{array}

*f'''(x)={-4}.cos\:x+x.sin\:x mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas d=x.sin\:x maka d'=sin\:x+x.cos\:x

sehingga

\begin{array}{rcl}f''''(x) & = & {-4}.(-sin\:x)+(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {4}.sin\:x+sin\:x+x.cos\:x\\ & = & {5}.sin\:x+x.cos\:x\end{array}

waaaaah…..selesai !!!!

begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!!

ada yang bertanya soal seperti ini:

3. Jika diketahui y=sin\:x buktikan bahwa turunan ke-n yaitu y^n=sin(x+\frac{\pi}{2}.n) !

jawab:

*ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran

y=sin\:x

y'=cos\:x =\:sin(\frac{\pi}{2}+x) =\:sin(x+\frac{\pi}{2}.1)
y''=-sin\:x =\:sin({\pi}+x) =\:sin(x+\frac{\pi}{2}.2)
y'''=-cos\:x =\:sin(\frac{3.\pi}{2}+x) =\:sin(x+\frac{\pi}{2}.3)
y''''=sin\:x =\:sin({2.\pi}+x) =\:sin(x+\frac{\pi}{2}.4)

dst

dst

dst

sehingga y^n=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.n) terbukti

nah,bagi pertanyaan selanjutnya,selalu ditunggu…

Untuk contoh latihan soal dan pembahasannya di soal turunan trigonometri yah….

*pembaca yang bijak selalu meninggalkan jejak,hehehe….

Bookmark the permalink.

76 Comments

  1. Posted 8 October 2014 at 17:58 | Permalink

    sangat bermanfaat untuk belajar dan menambah ilmu untuk diajarkan ke siswa

  2. omkardi
    Posted 19 November 2014 at 18:39 | Permalink

    saya mulai faham, karna lebih rinci.

  3. faiz
    Posted 22 November 2014 at 17:08 | Permalink

    Terimakasih , jawabannya membantu sekali (y)

Tulis Komentar

  • Google Analytics