Integral Substitusi

Yuuuuuuk belajar lagi…!!!!

Kali ini khusus kita bahas tentang integral subtitusi, contoh soal dan pembahasannya ok…!!!

Jangan sampai ketinggalan ya…

Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka

$\int {\color{Red} (u(x))^r.\;u'(x)}\;dx={\color{Red} \frac {1}{r+1}(u(x))^{r+1}+c}$ di mana $c$ adalah konstanta dan $r\neq -1$

Nah…udah lihat rumus integral yang di atas sono tuh…???

Pusing,tidak..??? hehehe…lebih baik langsung di contohin aja ya….

contoh soal dan pembahasan integral subtitusi :

  1. $\int (5x-3)^4dx = $....

    Jawab :

    • kita misalkan u=5x-3 dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

    \begin{align}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 5x-3}\\\frac{du}{dx}&=&5\\dx&=&{\color{Blue} \frac 15\;du} \end{align}

    • Baru kita subtitusikan ke soal :

    \begin{align*}\int({\color{Red} 5x-3})^4{\color{Blue} dx}&=&\int {\color{Red} u}^4.{\color{Blue} \frac 15\;du}\\&=&{\color{Blue} \frac 15}.\frac{1}{4+1}.{\color{Red} u}^{4+1}+C\\&=&\frac{1}{25}\;{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac{1}{25}\;({\color{Red} 5x-3})^5+C\end{align*}

    Jangan sampai lupa untuk mengembalikan permisalan kita $u\; =\;{\color{Red} 5x-3}$ ya…..

  2. $\int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx = $...

    Jawab :

    • kita misalkan $u=3x^2-3x+5$ dan fungsi u dapat diturunkan menjadi :

    \begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 3x^2-3x+5}\\\frac {du}{dx}&=&6x-3\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\end{align*}

    • Baru kita subtitusikan ke soal :

    \begin{align*}\int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx&=&\int (2x-1).{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\\&=&\int \frac{2x-1}{{\color{Blue} 3(2x-1)}}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{3}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 13.\frac{1}{8+1}.{\color{Red} u}^{8+1}+C\\&=&\frac{1}{27}.{\color{Red} u}^9 +C\\&=&\frac{1}{27}({\color{Red} 3x^2-3x+5})^9+C\end{align*}

  3. $\int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx \;=\; $...

    Jawab :

    • kita misalkan $u=2x^3+1$ dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

    \begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 2x^3+1}\\\frac{du}{dx}&=&6x^2\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du} \end{align*}

    • Baru kita subtitusikan ke soal :

    \begin{align*}\int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx&=&\int x^2.\sqrt{{\color{Red} u}}\;.{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du}\\&=&\int \frac{x^2}{{\color{Blue} 6x^2}}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{6}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 16.\frac{1}{\frac 12+1}\;{\color{Red} u}^{\frac 12+1}+C\\&=&\frac 16.\frac 23\;{\color{Red} u}^{\frac 32}+C\\&=&\frac 19\;{\color{Red} u}\sqrt {\color{Red} u}+C\\&=&\frac 19({\color{Red} 2x^3+1})\sqrt{{\color{Red} 2x^3+1}}+C\end{align*}

  4. $\int sin\;x.cos^2x\;dx = …$

    Jawab :

    • kita misalkan $u=cos\;x$ maka

    \begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} cos\;x}\\\frac{du}{dx}&=&-sin\;x\\du&=&-sin\;x\;dx \end{align*}

    • sehingga :

    \begin{align*}\int sin\;x.{\color{Red} cos}^2{\color{Red} x}\;dx&=&\int -{\color{Red} u}^2\;du\\&=&-\frac 13.{\color{Red} u}^3+C\\&=&-\frac 13.{\color{Red} cos}^3{\color{Red} x}+C\end{align*}

  5. $\int cos\;5x\;sin^4\;5x\;dx= …$

    Jawab :

    • kita misalkan $u=sin\;5x$ maka :

    \begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} sin\;5x}\\\frac{du}{dx}&=&5.cos\;5x\\\frac{du}{5}&=&cos\;5x\;dx\end{align*}

    • sehingga :

    \begin{align*}\int cos\;5x\;{\color{Red} sin}^4\;{\color{Red} 5x}\;dx&=&\int \frac 15.{\color{Red} u}^4\;du\\&=&\frac 15.\frac 15.{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac {1}{25}{\color{Red} sin}^5\;{\color{Red} 5x}+C\end{align*}

latihan soal dan pembahasan integral subtitusi aljabar dan trigonometri-nya dicukupkan dulu ya, kapan-kapan ditambah lagi soalnya.

Selamat belajar ………..!!!!

Comments